. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а √2 и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:

Задание 3. Параллелепипед (Параллелограмм в основании)

Дано:

• Параллелепипед прямой ABCDA₁B₁C₁D₁.
• Основание — параллелограмм ABCD.
• Стороны параллелограмма: \( AB = 2a \) и \( AD = a\sqrt{2} \).
• Острый угол параллелограмма \( \angle DAB = 45° \).
• Высота параллелепипеда H равна меньшей высоте параллелограмма.

Найти:

• а) меньшую высоту параллелограмма;
• б) угол между плоскостью ABC₁ и плоскостью основания;
• в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
• г) площадь поверхности параллелепипеда.

Решение:

1. Меньшая высота параллелограмма (пункт а):

Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, будет меньшей, и наоборот.

Большая сторона = \( 2a \). Меньшая сторона = \( a\sqrt{2} \).

Высота, опущенная на сторону AB (длиной \( 2a \)), обозначим \( h_1 \).

\( h_1 = AD \cdot \sin(\angle DAB) = a\sqrt{2} \cdot \sin(45°) = a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a \).

Высота, опущенная на сторону AD (длиной \( a\sqrt{2} \)), обозначим \( h_2 \).

\( h_2 = AB \cdot \sin(\angle DAB) = 2a \cdot \sin(45°) = 2a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2} \).

Сравним \( h_1 = a \) и \( h_2 = a\sqrt{2} \). Так как \( \sqrt{2} > 1 \), то \( h_1 < h_2 \). Значит, меньшая высота равна \( a \).

Ответ на а): Меньшая высота параллелограмма равна a.

2. Высота параллелепипеда (по условию):

Высота параллелепипеда H равна меньшей высоте параллелограмма, то есть H = a.

3. Угол между плоскостью ABC₁ и плоскостью основания (пункт б):

Плоскость основания — ABCD. Нам нужно найти угол между плоскостями ABC₁ и ABCD. Линия пересечения этих плоскостей — прямая AB.

Чтобы найти двугранный угол, нужно провести в каждой плоскости перпендикуляры к линии пересечения из одной точки.

В плоскости основания ABCD из точки B проведем перпендикуляр к AB. Это будет высота ромба (или параллелограмма), опущенная из B на AB. Но это не даст нам нужного угла, так как нам нужна высота, проведенная к AB из вершины, которая не лежит на AB. Мы уже нашли, что высота, опущенная на AB, равна h₁ = a.

Давайте проведем перпендикуляр из точки A к AB. Это будет высота AD, но она не перпендикулярна AB, так как угол 45°.

Возьмем точку A. Проведем перпендикуляр из A к AB в плоскости основания. Это будет высота, опущенная из A на AB. Так как AB является одной из сторон, этот перпендикуляр будет равен высоте параллелограмма, т.е. \( h_2 = a\sqrt{2} \) (если отложить от A perpendicular к AB).

В плоскости ABC₁ проведем перпендикуляр из A к AB. Это будет высота треугольника ABC₁, проведенная из вершины A к основанию AB.

В плоскости основания, из точки A, проведем перпендикуляр к AB. Пусть это будет отрезок AK, где K на прямой, перпендикулярной AB, проходящей через A. Длина AK равна высоте параллелограмма, опущенной на сторону AB, т.е. \( h_1 = a \).

В плоскости ABC₁, из точки A, проведем перпендикуляр к AB. Это будет высота боковой грани, т.е. высота параллелепипеда H = a.

Рассмотрим треугольник AA₁C₁. Нет, это не то.

Угол между плоскостью ABC₁ и плоскостью основания ABCD. Линия пересечения — AB.

В плоскости основания, из точки D, проведем перпендикуляр к AB. Это будет высота h₁ = a. Но это не удобно, так как нам нужно из точки, которая лежит на AB или провести перпендикуляры из одной точки.

Возьмем точку A. В плоскости основания, из A, проведем перпендикуляр к AB. Это будет высота h₂ = a√2 (если провести из A перпендикуляр к AD).

В плоскости ABC₁, нам нужно найти линию, перпендикулярную AB, исходящую из A.

Проведем высоту параллелепипеда h = AA₁ = a.

Рассмотрим треугольник ABC₁. Его основание — AB = 2a.

Угол между плоскостями ABC₁ и ABCD. Линия пересечения — AB.

Из точки A проведем перпендикуляр к AB в плоскости основания. Это будет отрезок, длина которого равна высоте параллелограмма, опущенной на AB, то есть \( h_1 = a \).

Из точки A проведем перпендикуляр к AB в плоскости ABC₁. Это будет высота AA₁ = H = a.

Треугольник, образованный этими перпендикулярами, будет прямоугольным. Его гипотенуза — это отрезок, соединяющий конец первого перпендикуляра и конец второго перпендикуляра. Это будет диагональ AC₁.

Угол между плоскостями — это угол между AK (где AK перпендикулярно AB, \( AK=a \)) и AA₁ (где \( AA_1 \) перпендикулярно AB, \( AA_1=a \)).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKA₁. Угол AKA₁ = 90°.

\( AK = a \) (высота параллелограмма, опущенная на AB).

\( AA_1 = a \) (высота параллелепипеда).

Треугольник AKA₁ — прямоугольный, причем катеты равны. Это означает, что он равнобедренный прямоугольный треугольник.

\( \angle KAA_1 = 45° \).

Угол между плоскостями — это угол между AK и AA₁, который равен 45°.

Ответ на б): Угол между плоскостью ABC₁ и плоскостью основания равен 45°.

4. Площадь боковой поверхности (пункт в):

Боковая поверхность состоит из четырех параллелограммов: ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁.

Площадь боковой грани ABB₁A₁: основание \( AB = 2a \), высота \( AA_1 = H = a \). Площадь \( S_{ABB_1A_1} = AB \cdot H = 2a \cdot a = 2a^2 \).

Площадь боковой грани ADD₁A₁: основание \( AD = a\sqrt{2} \), высота \( AA_1 = H = a \). Площадь \( S_{ADD_1A_1} = AD \cdot H = a\sqrt{2} \cdot a = a^2\sqrt{2} \).

Так как параллелепипед прямой, боковые грани — прямоугольники.

Две грани равны \( 2a^2 \) (ABB₁A₁ и CDD₁C₁).

Две грани равны \( a^2\sqrt{2} \) (ADD₁A₁ и BCC₁B₁).

\( S_{бок} = 2 \u0017 2a^2 + 2 \u0017 a^2\sqrt{2} = 4a^2 + 2a^2\sqrt{2} = 2a^2 (2 + \sqrt{2}) \).

Ответ на в): Площадь боковой поверхности равна \( 2a^2(2 + \sqrt{2}) \).

5. Площадь поверхности параллелепипеда (пункт г):

Площадь поверхности равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.

Площадь основания (параллелограмма ABCD):

\( S_{осн} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) \)

\( S_{осн} = 2a \cdot a\sqrt{2} \cdot \sin(45°) = 2a^2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2a^2 \).

\( S_{пов} = 2 \u0017 S_{осн} + S_{бок} \)

\( S_{пов} = 2 \u0017 2a^2 + (4a^2 + 2a^2\sqrt{2}) \)

\( S_{пов} = 4a^2 + 4a^2 + 2a^2\sqrt{2} = 8a^2 + 2a^2\sqrt{2} = 2a^2 (4 + \sqrt{2}) \).

Ответ на г): Площадь поверхности параллелепипеда равна \( 2a^2(4 + \sqrt{2}) \).