2. Параллельные прямые a и b пересекают одну из двух параллельных плоскостей в точках A₁ и B₁, а другую — в точках A₂ и B₂ соответственно. а) Докажите, что A₁B₁ ∥ A₂B₂. б) Найдите ∠A₂A₁B₁, если ∠A₁A₂B₂ = 140°. а) Докажите, что A₁B₁ = A₂B₂. б) Найдите ∠B₁B₂A₂, если ∠B₁A₁A₂ = 50°.

Рассмотрим плоскость, содержащую параллельные прямые a и b. Она пересекает две параллельные плоскости по прямым A₁B₁ и A₂B₂. Линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью параллельны, поэтому A₁B₁ ∥ A₂B₂.

Так как A₁A₂ ∥ B₁B₂, четырёхугольник A₁B₁B₂A₂ — параллелограмм: его противоположные стороны параллельны. Поэтому A₁B₁ = A₂B₂.

В параллелограмме соседние углы в сумме составляют 180°:

∠A₂A₁B₁ = 180° − ∠A₁A₂B₂ = 180° − 140° = 40°.

∠B₁B₂A₂ = 180° − ∠B₁A₁A₂ = 180° − 50° = 130°.

Ответ: а) A₁B₁ ∥ A₂B₂; A₁B₁ = A₂B₂. б) ∠A₂A₁B₁ = 40°; ∠B₁B₂A₂ = 130°.