2. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её большая боковая сторона равна 37. Найдите радиус окружности.

Решение:

Для трапеции, описанной около окружности, выполняется свойство: сумма оснований равна сумме боковых сторон.

• a + b = c + d

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой (h), и она равна диаметру вписанной окружности (2r).

Пусть основания трапеции будут a и b, а боковые стороны c и d. Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон (d) равна высоте (h). Пусть большая боковая сторона равна 37. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона является высотой, если меньшее основание больше, чем разность оснований. Однако, по свойству описанной трапеции, сумма боковых сторон равна сумме оснований. И так как одна из боковых сторон является высотой, то эта высота является одной из боковых сторон, а другая боковая сторона - наклонная.

Пусть d = 37 (большая боковая сторона, которая является высотой).

Периметр (P) = 100.

P = a + b + c + d

100 = a + b + c + 37

a + b + c = 100 - 37 = 63

По свойству описанной трапеции:

• a + b = c + d

Подставим известные значения:

• a + b = c + 37

Мы знаем, что a + b + c = 63. Заменим (a + b) на (c + 37):

• (c + 37) + c = 63
• 2c + 37 = 63
• 2c = 63 - 37
• 2c = 26
• c = 13

Итак, боковые стороны равны 37 (высота) и 13.

Радиус вписанной окружности (r) равен половине высоты (h), так как высота является диаметром окружности.

• h = d = 37
• Диаметр = 37
• Радиус (r) = Диаметр / 2
• r = 37 / 2
• r = 18.5

Ответ: 18.5