2. Периметр ромба равна 80, одна из его диагоналей 24. Найдите другую диагональ.

Решение:

Периметр ромба равен \( P = 4a \), где \( a \) — сторона ромба. Найдём сторону ромба:

\[ 4a = 80 \implies a = \frac{80}{4} = 20 \] см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Пусть \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба. Тогда стороны треугольника равны \( \frac{d_1}{2} \), \( \frac{d_2}{2} \) и \( a \). По теореме Пифагора:

\[ \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = a^2 \]

Нам известна одна диагональ \( d_1 = 24 \) см и сторона \( a = 20 \) см. Найдём вторую диагональ \( d_2 \):

\[ \left( \frac{24}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 20^2 \]

\[ 12^2 + \frac{d_2^2}{4} = 400 \]

\[ 144 + \frac{d_2^2}{4} = 400 \]

\[ \frac{d_2^2}{4} = 400 - 144 = 256 \]

\[ d_2^2 = 256 \cdot 4 = 1024 \]

\[ d_2 = \sqrt{1024} = 32 \] см.

Ответ: 32 см.