2. Построить график функции y = −x² + 4x − 3. Определить по графику: а) область определения функции; б) нули функции; в) промежутки, в которых y > 0 и y < 0; г) промежутки возрастания и убывания функции; д) наибольшее и наименьшее значение функции; е) область значений функции.

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: \(y=-(x^2-4x+4)+1=-(x-2)^2+1\). Значит, вершина параболы — (2; 1), а ветви направлены вниз.

Нули найдём из уравнения \(-(x-2)^2+1=0\): \((x-2)^2=1\), откуда \(x=1\) или \(x=3\).

1. Область определения: \(D(f)=(-\infty;+\infty)\).
2. Нули функции: \(x=1\) и \(x=3\).
3. Функция положительна при \(1<x<3\); отрицательна при \(x<1\) и \(x>3\).
4. Возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\).
5. Наибольшее значение равно 1 и достигается при \(x=2\). Наименьшего значения нет: функция не ограничена снизу.
6. Область значений: \(E(f)=(-\infty;1]\).

Ответ: \(D(f)=\mathbb R\); нули 1 и 3; \(y>0\) при \(x\in(1;3)\), \(y<0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)\); возрастание на \((-\infty;2]\), убывание на \([2;+\infty)\); максимум 1, минимума нет; \(E(f)=(-\infty;1]\).