2. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2-4x+5, если\ x\ge1;\\x+1, если\ x<1.\end{cases}\) При каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком функции ровно две общие точки?

Для части \(x<1\) график — прямая \(y=x+1\), с выколотой точкой \((1;2)\). Для части \(x\ge1\) получаем параболу \(y=(x-2)^2+1\), включающую точку \((1;2)\); её вершина — \((2;1)\).

Построим обе части графика. На рисунке пустой кружок для линейной части в \((1;2)\) обозначает, что эта точка к ней не относится; закрашенная точка принадлежит параболе.

Считаем пересечения с горизонтальной прямой \(y=m\). При \(m=1\) прямая пересекает линейную часть один раз и параболу один раз. При \(m=2\) линейная часть не пересекается с прямой (значение \(x=1\) исключено), а парабола пересекается в двух точках. При других уровнях число пересечений не равно двум.

Ответ: \(m=1\) или \(m=2\).