2. Постройте графики функций \( y = \frac{4}{x} \) и \( y = x + 4 \). Найдите координаты точек пересечения этих графиков.

Решение:

1. Построение графика функции \( y = \frac{4}{x} \).

Это гипербола. Выберем несколько точек:

• При \( x = -2 \), \( y = -2 \)
• При \( x = -1 \), \( y = -4 \)
• При \( x = 1 \), \( y = 4 \)
• При \( x = 2 \), \( y = 2 \)

2. Построение графика функции \( y = x + 4 \).

Это прямая. Выберем две точки:

• При \( x = -4 \), \( y = 0 \)
• При \( x = 0 \), \( y = 4 \)

3. Нахождение координат точек пересечения.

Приравняем правые части уравнений:

\[ \frac{4}{x} = x + 4 \]

Умножим обе части на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)):

\[ 4 = x^2 + 4x \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ x^2 + 4x - 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-4 + 4\sqrt{2}}{2} = -2 + 2\sqrt{2} \]

\[ x_2 = \frac{-4 - 4\sqrt{2}}{2} = -2 - 2\sqrt{2} \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив \( x \) в уравнение \( y = x + 4 \):

Для \( x_1 = -2 + 2\sqrt{2} \):

\[ y_1 = (-2 + 2\sqrt{2}) + 4 = 2 + 2\sqrt{2} \]

Для \( x_2 = -2 - 2\sqrt{2} \):

\[ y_2 = (-2 - 2\sqrt{2}) + 4 = 2 - 2\sqrt{2} \]

Ответ: Точки пересечения: \( (-2 + 2\sqrt{2}; 2 + 2\sqrt{2}) \) и \( (-2 - 2\sqrt{2}; 2 - 2\sqrt{2}) \).