№2. Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки K, P, T — середины рёбер AB, BB₁, BC (рис. 1). Найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно 8 см.

На гранях куба точки K и P лежат на грани ABB₁A₁, точки P и T — на грани BCC₁B₁, а точки T и K — на грани ABCD. Поэтому сечение — треугольник KPT.

Пусть ребро куба равно a = 8 см. Каждая сторона треугольника соединяет середины двух рёбер одной квадратной грани. Например, KP — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a/2 и a/2:

KP = √((a/2)² + (a/2)²) = a/√2 = 4√2 см.

Аналогично PT = TK = 4√2 см, значит, KPT — равносторонний треугольник.

Его площадь: S = (4√2)²√3/4 = 8√3 см².

Ответ: площадь сечения равна 8√3 см².