2. При каких целых и число n² + n + 5 является полным квадратом?

Обоснование:

Задача состоит в поиске целых чисел n, при которых выражение n² + n + 5 равно квадрату некоторого целого числа k.

Шаг 1: Формулируем уравнение

Пусть n² + n + 5 = k², где n и k — целые числа.

Шаг 2: Преобразуем уравнение

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов при попытке выделения полного квадрата:

4n² + 4n + 20 = 4k²

(2n)² + 2(2n)(1) + 1² - 1² + 20 = (2k)²

(2n + 1)² + 19 = (2k)²

(2k)² - (2n + 1)² = 19

Шаг 3: Используем формулу разности квадратов

(2k - (2n + 1))(2k + (2n + 1)) = 19

(2k - 2n - 1)(2k + 2n + 1) = 19

Шаг 4: Анализируем делители числа 19

Число 19 — простое, его делители: 1, 19, -1, -19.

Рассмотрим возможные пары множителей:

1. Пара 1: 2k - 2n - 1 = 1 и 2k + 2n + 1 = 19
• Сложим уравнения: (2k - 2n - 1) + (2k + 2n + 1) = 1 + 19
• 4k = 20 => k = 5
• Подставим k = 5 в первое уравнение: 2(5) - 2n - 1 = 1
• 10 - 2n - 1 = 1
• 9 - 2n = 1
• 2n = 8 => n = 4
2. Пара 2: 2k - 2n - 1 = 19 и 2k + 2n + 1 = 1
• Сложим уравнения: 4k = 20 => k = 5
• Подставим k = 5 в первое уравнение: 2(5) - 2n - 1 = 19
• 10 - 2n - 1 = 19
• 9 - 2n = 19
• -2n = 10 => n = -5
3. Пара 3: 2k - 2n - 1 = -1 и 2k + 2n + 1 = -19
• Сложим уравнения: 4k = -20 => k = -5
• Подставим k = -5 в первое уравнение: 2(-5) - 2n - 1 = -1
• -10 - 2n - 1 = -1
• -11 - 2n = -1
• -2n = 10 => n = -5
4. Пара 4: 2k - 2n - 1 = -19 и 2k + 2n + 1 = -1
• Сложим уравнения: 4k = -20 => k = -5
• Подставим k = -5 в первое уравнение: 2(-5) - 2n - 1 = -19
• -10 - 2n - 1 = -19
• -11 - 2n = -19
• -2n = -8 => n = 4

Шаг 5: Проверка полученных значений n

Проверим найденные значения n:

• При n = 4: 4² + 4 + 5 = 16 + 4 + 5 = 25 = 5². Полный квадрат.
• При n = -5: (-5)² + (-5) + 5 = 25 - 5 + 5 = 25 = 5². Полный квадрат.

Вывод: Число n² + n + 5 является полным квадратом при целых n = 4 и n = -5.

Ответ: 4; -5