№ 2. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 5) 3/(x² − 1); 6) 2/(x² + 1); 7) 4/(|x| − 1); 8) x/(|x| + 2); 9) (x − 2)/(x² + 6x + 9); 10) 4/(x − 1) + 7x/(x − 4); 11) 7/[x(x − 1)]; 12) 1/(1 + 1/x)?

Дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю. В пункте 12 дополнительно учитываем, что внутреннее выражение \(1/x\) определено только при \(x\ne0\).

1. 5) \(x^2-1\ne0\), поэтому \(x\ne-1,1\).
2. 6) \(x^2+1>0\) при любом действительном \(x\). Ограничений нет.
3. 7) \(|x|-1\ne0\), поэтому \(x\ne-1,1\).
4. 8) \(|x|+2>0\) при любом действительном \(x\). Ограничений нет.
5. 9) \(x^2+6x+9=(x+3)^2\ne0\), поэтому \(x\ne-3\).
6. 10) Оба знаменателя должны быть ненулевыми: \(x\ne1,4\).
7. 11) \(x(x-1)\ne0\), поэтому \(x\ne0,1\).
8. 12) Требуются \(x\ne0\) и \(1+1/x\ne0\). Второе условие даёт \(x\ne-1\).

Ответ: 5) \(x\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}\); 6) \(x\in\mathbb R\); 7) \(x\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}\); 8) \(x\in\mathbb R\); 9) \(x\in\mathbb R\setminus\{-3\}\); 10) \(x\in\mathbb R\setminus\{1,4\}\); 11) \(x\in\mathbb R\setminus\{0,1\}\); 12) \(x\in\mathbb R\setminus\{-1,0\}\).