№ 3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной a значение дроби: 1) (a² + 6a + 10)/(a² − 10a + 25) положительное; 2) (4a − 4 − a²)/(a⁴ + 1) неположительное.

1) Преобразуем числитель и знаменатель: \(a^2+6a+10=(a+3)^2+1>0\), а \(a^2-10a+25=(a-5)^2\). Знаменатель равен нулю только при \(a=5\), это значение недопустимо. При всех допустимых \(a\) знаменатель положителен, поэтому дробь положительна.

2) Числитель равен \(4a-4-a^2=-(a-2)^2\le0\). Знаменатель \(a^4+1>0\) при любом действительном \(a\). Следовательно, дробь неположительна при всех допустимых значениях.