2. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB = 30°, АВ = 6 см.

Так как АВ и АС — касательные, то ОВ ⊥ АВ и ОС ⊥ АС. Треугольники АВО и АСО равны (по гипотенузе и острому углу, или по катету и гипотенузе).

1. В прямоугольном треугольнике АВО: ∠AOB = 90° - ∠OAB = 90° - 30° = 60°.
2. Так как треугольник АВО прямоугольный, то OB = AB * tg(30°) = 6 * (1/√3) = 2√3 см.
3. Треугольник ВОС равнобедренный (ОВ = ОС = радиус). Угол BOC = 2 * ∠AOB = 2 * 60° = 120°.
4. По теореме косинусов в треугольнике ВОС: BC² = OB² + OC² - 2 * OB * OC * cos(120°) = (2√3)² + (2√3)² - 2 * (2√3) * (2√3) * (-1/2) = 12 + 12 + 12 = 36.
5. BC = √36 = 6 см.