2. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найти ВС, если \( <OAB=30°, AB=7см. \)

Решение:

Дано:

Окружность с центром О.

АВ и АС — касательные к окружности.

В и С — точки касания.

\( \angle OAB = 30° \)

\( AB = 7 \) см.

Найти:

Длину отрезка ВС.

Решение:

1. Так как АВ — касательная к окружности в точке В, то радиус ОВ перпендикулярен касательной АВ. Следовательно, \( \angle ОВА = 90° \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ОВА \).
3. У нас есть угол \( \angle OAB = 30° \) и прилежащий катет \( AB = 7 \) см.
4. Найдем противолежащий катет ОВ (радиус окружности). Воспользуемся тангенсом угла:

\( \text{tg}(\angle OAB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{OB}{AB} \)

\( \text{tg}(30°) = \frac{OB}{7} \)

Так как \( \text{tg}(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), то:

\( \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{OB}{7} \)

\( OB = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \) см.

3. По свойству касательных, проведенных из одной точки, \( AB = AC \) и \( \angle OAB = \angle OAC \). Следовательно, \( AC = 7 \) см, \( \angle OAC = 30° \).

4. \( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 30° + 30° = 60° \).

5. В треугольнике \( \triangle ABC \): \( AB = AC = 7 \) см, и \( \angle BAC = 60° \). Следовательно, \( \triangle ABC \) — равносторонний.

6. Тогда \( BC = AB = AC = 7 \) см.

Ответ: BC = 7 см.