2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса: \(\begin{cases}2x+y-z=3,\\x-y+2z=1,\\3x+y+z=6.\end{cases}\)

Запишем расширенную матрицу системы и исключим неизвестные элементарными преобразованиями строк:

\(\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&3\\1&-1&2&1\\3&1&1&6\end{array}\right)\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&1\\2&1&-1&3\\3&1&1&6\end{array}\right).\)

Выполним \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\), \(R_3\leftarrow R_3-3R_1\):

\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&1\\0&3&-5&1\\0&4&-5&3\end{array}\right).\)

Устраним второй элемент третьей строки: \(R_3\leftarrow3R_3-4R_2\):

\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&1\\0&3&-5&1\\0&0&5&5\end{array}\right).\)

Обратный ход: из третьей строки \(z=1\); из второй \(3y-5=1\), поэтому \(y=2\); из первой \(x-2+2=1\), поэтому \(x=1\).

Ответ: \(x=1,\ y=2,\ z=1\).