2. Решите неравенство: a) (x - 4)(x – 6) > 0; б) x² + 64 > 0; в) x² ≤ −11x - 24.

Решение:

1. a) (x − 4)(x − 6) > 0
   • Это квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения (x − 4)(x − 6) = 0. Корни: x = 4 и x = 6.
   • Парабола y = (x − 4)(x − 6) с ветвями вверх пересекает ось x в точках 4 и 6.
   • Неравенство > 0 выполняется там, где парабола выше оси x.
   • Следовательно, x < 4 или x > 6.
2. б) x² + 64 > 0
   • Выражение x² всегда неотрицательно (больше или равно 0) для любого действительного x.
   • Следовательно, x² + 64 всегда будет больше 0.
   • Решением являются все действительные числа.
3. в) x² ≤ −11x − 24
   • Перенесем все члены в левую часть:
   • x² + 11x + 24 ≤ 0
   • Найдем корни уравнения x² + 11x + 24 = 0.
   • Дискриминант D = b² − 4ac = 11² − 4 × 1 × 24 = 121 − 96 = 25.
   • Корни: x₁ = (−11 + √25) / 2 = (−11 + 5) / 2 = −6 / 2 = −3.
   • x₂ = (−11 − √25) / 2 = (−11 − 5) / 2 = −16 / 2 = −8.
   • Парабола y = x² + 11x + 24 с ветвями вверх пересекает ось x в точках −8 и −3.
   • Неравенство ≤ 0 выполняется там, где парабола ниже или на оси x.
   • Следовательно, −8 ≤ x ≤ −3.

Ответ: а) x < 4 или x > 6; б) Все действительные числа; в) −8 ≤ x ≤ −3