2. Решите простейшее тригонометрическое уравнение: tg²x + 3tgx - 4 = 0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \operatorname{tg}x \).

1. Сделаем замену: пусть \( y = \operatorname{tg}x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + 3y - 4 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение:
• \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \)
3. Вернемся к замене:
• Случай 1: \( \operatorname{tg}x = 1 \). Тогда \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Случай 2: \( \operatorname{tg}x = -4 \). Тогда \( x = \operatorname{arctg}(-4) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) и \( x = \operatorname{arctg}(-4) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).