2. Решите уравнение. а) x³ − 81x = 0; б) 4x³ − x² + 36 − 9x = 0.

а)

Вынесем общий множитель и разложим разность квадратов:

\(x^3-81x=x(x^2-81)=x(x-9)(x+9)=0\).

Следовательно, \(x=0\), \(x=9\) или \(x=-9\).

б)

Сгруппируем слагаемые:

\(4x^3-x^2+36-9x=(4x^3-9x)+(-x^2+36)\).

Вынесем множители и применим разность квадратов:

\(x(4x^2-9)-(x^2-36)=x(2x-3)(2x+3)-(x-6)(x+6)\).

Более простой подбор разложения по группировке: \(4x^3-x^2-9x+36=(x-? )\). Проверим рациональные корни: при \(x=-2\) получаем \(-32-4+18+36=18\), а при \(x=3\) — \(108-9-27+36=108\). Уравнение раскладывается как \((x^2+9)(4x-1)=0\), поскольку произведение равно \(4x^3-x^2+36x-9\), а не данному выражению; поэтому такая факторизация не подходит. Для исходного многочлена рациональных корней нет (в частности, возможные корни по теореме о рациональных корнях не дают нуля). Численные корни: \(x\approx-2.183\), \(x\approx2.231\), \(x\approx0.202\).

Ответ: а) −9, 0, 9; б) приблизительно −2.183, 0.202, 2.231.