2. Решите уравнение: \[\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{5}{2}\]

Краткое пояснение:

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю, упростим полученное выражение и решим квадратное уравнение. Важно учесть, что знаменатели не должны быть равны нулю.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим общий знаменатель для левой части уравнения, который равен \[ (x-1)(x+1) \].
   \[\frac{(x + 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{(x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{5}{2}\]
2. Шаг 2: Раскрываем скобки в числителях:
   \[\frac{x^2 + 2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{x^2 - 2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{5}{2}\]
3. Шаг 3: Складываем дроби в левой части:
   \[\frac{(x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{5}{2}\]
   \[\frac{2x^2 + 2}{x^2 - 1} = \frac{5}{2}\]
4. Шаг 4: Приравниваем полученное дробно-рациональное уравнение к пропорции и перемножаем крест-накрест:
   \[ 2(2x^2 + 2) = 5(x^2 - 1) \]
   \[ 4x^2 + 4 = 5x^2 - 5 \]
5. Шаг 5: Переносим все члены в одну сторону и приводим подобные:
   \[ 0 = 5x^2 - 4x^2 - 5 - 4 \]
   \[ 0 = x^2 - 9 \]
6. Шаг 6: Решаем полученное квадратное уравнение: \[ x^2 = 9 \]
   \[ x = \pm \sqrt{9} \]
   \[ x = \pm 3 \]
7. Шаг 7: Проверяем ограничения. Знаменатели \[ x-1 \] и \[ x+1 \] не должны быть равны нулю, то есть \[ x
   eq 1 \] и \[ x
   eq -1 \]. Оба найденных корня \[ x=3 \] и \[ x=-3 \] удовлетворяют этим условиям.

Ответ: x = 3, x = -3