3. Решите уравнение: \[\frac{3x + 1}{x - 3} - \frac{32}{x^2 - 9} = \frac{8(x + 1)}{x + 3}\]

Краткое пояснение:

Для решения уравнения приведем все дроби к общему знаменателю, который равен \[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \]. Затем решим полученное линейное уравнение, учитывая ограничения на переменные.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю \[ (x-3)(x+3) \].
   \[\frac{(3x + 1)(x+3)}{(x - 3)(x+3)} - \frac{32}{(x-3)(x+3)} = \frac{8(x + 1)(x-3)}{(x - 3)(x+3)}\]
2. Шаг 2: Умножаем числители на соответствующие множители:
   \[(3x + 1)(x+3) - 32 = 8(x + 1)(x-3)\]
3. Шаг 3: Раскрываем скобки и упрощаем:
   \[(3x^2 + 9x + x + 3) - 32 = 8(x^2 - 3x + x - 3)\]
   \[3x^2 + 10x - 29 = 8(x^2 - 2x - 3)\]
   \[3x^2 + 10x - 29 = 8x^2 - 16x - 24\]
4. Шаг 4: Переносим все члены в одну сторону и приводим подобные:
   \[0 = 8x^2 - 3x^2 - 16x - 10x - 24 + 29\]
   \[0 = 5x^2 - 26x + 5\]
5. Шаг 5: Решаем квадратное уравнение \[5x^2 - 26x + 5 = 0\] с помощью дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4(5)(5) = 676 - 100 = 576\]
   \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 \pm \sqrt{576}}{2(5)} = \frac{26 \pm 24}{10}\]
6. Шаг 6: Находим корни: \[x_1 = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5\]
   \[x_2 = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\]
7. Шаг 7: Проверяем ограничения. Знаменатели \[ x-3 \] и \[ x+3 \] не должны быть равны нулю, то есть \[ x
   eq 3 \] и \[ x
   eq -3 \]. Оба найденных корня \[ x=5 \] и \[ x=1/5 \] удовлетворяют этим условиям.

Ответ: x = 5, x = 1/5