2. Решите уравнение log₄(√(59 - 10x) - 1) = 0,5 + log₄(x - 4).

Решение:

Данное уравнение: \( \text{log}_4(\sqrt{59 - 10x} - 1) = 0.5 + \text{log}_4(x - 4) \).

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( \sqrt{59 - 10x} - 1 > 0 \) и \( x - 4 > 0 \).
2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 59 - 10x \ge 0 \).

Из \( x - 4 > 0 \) следует \( x > 4 \).

Из \( 59 - 10x \ge 0 \) следует \( 10x \le 59 \), то есть \( x \le 5.9 \).

Из \( \sqrt{59 - 10x} - 1 > 0 \) следует \( \sqrt{59 - 10x} > 1 \). Возведем обе части в квадрат: \( 59 - 10x > 1 \), \( 58 > 10x \), \( x < 5.8 \).

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: \( 4 < x < 5.8 \).

Теперь преобразуем уравнение:

\[ \text{log}_4(\sqrt{59 - 10x} - 1) = \text{log}_4(4^{0.5}) + \text{log}_4(x - 4) \]

\[ \text{log}_4(\sqrt{59 - 10x} - 1) = \text{log}_4(2) + \text{log}_4(x - 4) \]

Используем свойство логарифма \( \text{log}_a b + \text{log}_a c = \text{log}_a (b \cdot c) \):

\[ \text{log}_4(\sqrt{59 - 10x} - 1) = \text{log}_4(2(x - 4)) \]

Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы:

\[ \sqrt{59 - 10x} - 1 = 2(x - 4) \]

\[ \sqrt{59 - 10x} - 1 = 2x - 8 \]

\[ \sqrt{59 - 10x} = 2x - 7 \]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ 59 - 10x = (2x - 7)^2 \]

\[ 59 - 10x = 4x^2 - 28x + 49 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ 4x^2 - 28x + 10x + 49 - 59 = 0 \]

\[ 4x^2 - 18x - 10 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ 2x^2 - 9x - 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 \).

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ \( 4 < x < 5.8 \).

Корень \( x_1 = 5 \) удовлетворяет условию \( 4 < 5 < 5.8 \).

Корень \( x_2 = -0.5 \) не удовлетворяет условию \( x > 4 \).

Проверим корень \( x = 5 \) подстановкой в уравнение \( \sqrt{59 - 10x} = 2x - 7 \):

Левая часть: \( \sqrt{59 - 10 \cdot 5} = \sqrt{59 - 50} = \sqrt{9} = 3 \).

Правая часть: \( 2 \cdot 5 - 7 = 10 - 7 = 3 \).

Левая часть равна правой, значит, \( x = 5 \) является решением.

Ответ: x = 5.