3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 5 - x² и y = x + 3.

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями \( y = 5 - x^2 \) и \( y = x + 3 \), сначала найдем точки их пересечения. Приравняем правые части уравнений:

\[ 5 - x^2 = x + 3 \]

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Найдем соответствующие значения \( y \) для точек пересечения:

• При \( x = 1 \): \( y = 1 + 3 = 4 \) (точка \( (1, 4) \)).
• При \( x = -2 \): \( y = -2 + 3 = 1 \) (точка \( (-2, 1) \)).

Теперь нужно определить, какая из функций является верхней, а какая — нижней на интервале \( [-2, 1] \).

Возьмем пробную точку, например, \( x = 0 \).

Для \( y = 5 - x^2 \): \( y = 5 - 0^2 = 5 \).

Для \( y = x + 3 \): \( y = 0 + 3 = 3 \).

Так как \( 5 > 3 \), функция \( y = 5 - x^2 \) является верхней, а \( y = x + 3 \) — нижней на интервале \( [-2, 1] \).

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} (y_{верхняя} - y_{нижняя}) dx \]

В нашем случае \( a = -2 \), \( b = 1 \), \( y_{верхняя} = 5 - x^2 \), \( y_{нижняя} = x + 3 \).

\[ S = \int_{-2}^{1} ((5 - x^2) - (x + 3)) dx \]

\[ S = \int_{-2}^{1} (5 - x^2 - x - 3) dx \]

\[ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \]

Проинтегрируем:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} \]

Вычислим значение определенного интеграла:

\[ S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right) \]

\[ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{4}{2} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) \]

\[ S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - \frac{18}{3} \right) \]

\[ S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) \]

\[ S = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} \]

Сократим дробь:

\[ S = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 4.5.