2. Решите уравнения: 1) $|x^2+x|=2$; 2) $|x-1|=3x+5$; 3) $|x|+|x-2|=2$; 4) $|x+4|+|x-5|=9$; 5) $x^2-6x+|x-4|+8=0$; 6) $\bigl||x^2-x|-1\bigr|=1$. Дополнительно: 7) $|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решите уравнения: 1) $|x^2+x|=2$; 2) $|x-1|=3x+5$; 3) $|x|+|x-2|=2$; 4) $|x+4|+|x-5|=9$; 5)…$ Фото задания

2. Решите уравнения: 1) $|x^2+x|=2$; 2) $|x-1|=3x+5$; 3) $|x|+|x-2|=2$; 4) $|x+4|+|x-5|=9$; 5) $x^2-6x+|x-4|+8=0$; 6) $\bigl||x^2-x|-1\bigr|=1$. Дополнительно: 7) $|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2$.

Accepted Answer

$|x^2+x|=2$, значит, рассматриваем случаи $x^2+x=2$ и $x^2+x=-2$.
Первое уравнение: $x^2+x-2=0$, откуда $(x+2)(x-1)=0$, поэтому $x=-2$ или $x=1$. Второе уравнение $x^2+x+2=0$ действительных корней не имеет, так как его дискриминант отрицателен.
Ответ: $x=-2, 1$.
Правая часть должна быть неотрицательной: $3x+5\ge0$.
При $x\ge1$: $x-1=3x+5$, откуда $x=-3$, что условию не подходит.
При $x<1$: $1-x=3x+5$, откуда $x=-1$; это значение подходит.
Ответ: $x=-1$.
Сумма расстояний от $x$ до 0 и 2 не меньше расстояния между 0 и 2, то есть 2. Равенство достигается, когда $x$ находится между этими точками.
Ответ: $x\in[0;2]$.
Сумма расстояний от $x$ до точек −4 и 5 не меньше расстояния между ними: $9$. Равенство достигается для всех точек отрезка между ними.
Ответ: $x\in[-4;5]$.
При $x\ge4$: $|x-4|=x-4$, поэтому $x^2-5x+4=0$. Корни 1 и 4; условию $x\ge4$ подходит только 4.
При $x<4$: $|x-4|=4-x$, поэтому $x^2-7x+12=0$, то есть $(x-3)(x-4)=0$. Условию подходит только 3.
Ответ: $x=3, 4$.
Обозначим $y=|x^2-x|$, где $y\ge0$. Из $|y-1|=1$ следует $y=0$ или $y=2$.
Если $|x^2-x|=0$, то $x(x-1)=0$, откуда $x=0-0 или \(x=1$.
Если $|x^2-x|=2$, то $x^2-x=2$ или $x^2-x=-2$. Первое уравнение даёт $(x-2)(x+1)=0$, второе действительных корней не имеет.
Ответ: $x=-1, 0, 1, 2$.
Рассмотрим интервалы, заданные точками смены знака $-1, 0, 1, 2$.
При $x<-1$ уравнение сводится к $-x-2=x+2$, откуда $x=-2$; корень подходит.
При $-1\le x<0$ левая часть равна $x$, поэтому равенство $x=x+2$ невозможно.
При $0\le x<1$ левая часть равна $-x$. Получаем $-x=x+2$, откуда $x=-1$, что не принадлежит интервалу.
При $1-0\le x<2$ левая часть равна $5x-6$; уравнение даёт $x=2$, не принадлежащее этому интервалу.
При $x\ge2$ левая часть тождественно равна $x+2$, поэтому подходят все такие значения.
Ответ: $x=-2$ или $x\in[2; +\infty)$.

2. Решите уравнения: 1) \(|x^2+x|=2\); 2) \(|x-1|=3x+5\); 3) \(|x|+|x-2|=2\); 4) \(|x+4|+|x-5|=9\); 5) \(x^2-6x+|x-4|+8=0\); 6) \(\bigl||x^2-x|-1\bigr|=1\). Дополнительно: 7) \(|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2\).

Ответ: