2. Решите задачу. Катер прошёл 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

Пусть x км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость по течению равна x + 2 км/ч, а против течения — x − 2 км/ч. Необходимо, чтобы x > 2.

Время в пути по течению: 80/(x + 2) ч. Время против течения: 80/(x − 2) ч. Составим уравнение по общему времени:

80/(x + 2) + 80/(x − 2) = 9.

Умножим обе части на (x + 2)(x − 2): 160x = 9(x² − 4), откуда 9x² − 160x − 36 = 0.

Дискриминант: D = 160² + 4 · 9 · 36 = 26 896 = 164². Тогда x = (160 ± 164)/18, то есть x = 18 или x = −2/9. Отрицательный корень не подходит, поскольку скорость должна быть больше 2 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера — 18 км/ч.