2. Рис. 720. Дано: UAB : UBC = 11 : 12. Найти: ∠BCA, ∠BAC.

Решение:

1. Свойство центрального угла: Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Обозначим дугу AB как 11x и дугу BC как 12x.
2. Полная окружность: Сумма всех дуг окружности равна 360°.
3. Нахождение x: Дуга AC = 360° - (11x + 12x) = 360° - 23x.
4. Вписанные углы: Угол BCA опирается на дугу AB, следовательно, ∠BCA = (1/2) * дуга AB = (1/2) * 11x = 5.5x. Угол BAC опирается на дугу BC, следовательно, ∠BAC = (1/2) * дуга BC = (1/2) * 12x = 6x.
5. Использование данных рисунка: На рисунке указано, что угол BOC = 130°. Этот угол является центральным и опирается на дугу BC. Следовательно, дуга BC = 130°.
6. Вычисление x: Так как дуга BC = 12x = 130°, то x = 130° / 12 = 65° / 6.
7. Нахождение углов:
   • ∠BCA = 5.5x = 5.5 * (65°/6) = (11/2) * (65°/6) = 715°/12 ≈ 59.58°.
   • ∠BAC = 6x = 6 * (65°/6) = 65°.

Ответ: ∠BCA ≈ 59.58°, ∠BAC = 65°.