2. Рис. 860. Дано: $$\cup AB : \cup BC = 11 : 12$$. Найти: $$\angle BCA$$, $$\angle BAC$$.

Решение:

1. Нахождение углов:

• Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Пусть $$\angle AOB = 11x$$, а $$\angle BOC = 12x$$.
• Сумма углов вокруг центра окружности равна 360°.
• $$11x + 12x + \angle AOC = 360°$$.
• Из рисунка видно, что $$\angle AOC = 130°$$.
• $$23x + 130° = 360°$$.
• $$23x = 360° - 130° = 230°$$.
• $$x = 10°$$.
• $$\angle AOB = 11 \times 10° = 110°$$.
• $$\angle BOC = 12 \times 10° = 120°$$.
• Нахождение $$\angle BAC$$ (вписанный угол):
• $$\angle BAC$$ опирается на дугу BC. Величина вписанного угла равна половине величины дуги (или центрального угла, опирающегося на ту же дугу).
• $$\angle BAC = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$$.
• Нахождение $$\angle BCA$$ (вписанный угол):
• $$\angle BCA$$ опирается на дугу AB.
• $$\angle BCA = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{110°}{2} = 55°$$.

Ответ: $$\angle BCA = 55°$$, $$\angle BAC = 60°$$.