2. Рычаг имеет плечи, длины которых отличаются в 4 раза. Для подъема груза массой 90 кг к длинному плечу прикладывают вертикальную силу 250 Н. Определите КПД рычага.

Решение:

1. Обозначим длины плеч рычага: \( l_1 \) — длинное плечо, \( l_2 \) — короткое плечо. По условию \( l_1 = 4l_2 \).
2. Найдем работу, которую совершает приложенная сила: \( A_{вых} = F \cdot l_1 = 250 \text{ Н} \cdot l_1 \).
3. Найдем полезную работу (работу по подъему груза): \( A_{пот} = P \cdot h \). Полезная нагрузка \( P = m \cdot g = 90 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 900 \text{ Н} \). Высота подъема \( h \) пропорциональна короткому плечу \( l_2 \).
4. Из условия равновесия рычага: \( F \cdot l_1 = P \cdot l_2 \). \( 250 \text{ Н} \cdot 4l_2 = 900 \text{ Н} \cdot l_2 \). \( 1000l_2 = 900l_2 \). Это условие выполняется, если \( l_2 \) — это не высота, а плечо.
5. С учетом соотношения плеч: \( \frac{l_1}{l_2} = \frac{4}{1} \).
6. КПД рычага определяется как отношение полезной работы к совершенной работе: \( \text{КПД} = \frac{A_{пот}}{A_{вых}} \).
7. Из формулы равновесия рычага: \( \frac{l_1}{l_2} = \frac{P}{F} \). \( \frac{4}{1} = \frac{900 \text{ Н}}{250 \text{ Н}} = 3.6 \). Это противоречие, значит, сила 250 Н приложена к длинному плечу, а груз поднимается с помощью короткого плеча.
8. Тогда \( \frac{l_1}{l_2} = 4 \). \( A_{вых} = 250 \text{ Н} \cdot l_1 \). \( A_{пот} = 900 \text{ Н} \cdot h \).
9. Из закона рычага \( F · l_1 = P · l_2 \). \( 250 · l_1 = 900 · l_2 \). \( \frac{l_1}{l_2} = \frac{900}{250} = 3.6 \).
10. Длины плеч отличаются в 4 раза, значит \( l_1/l_2 = 4 \).
11. КПД: \( \text{КПД} = \frac{A_{пот}}{A_{вых}} = \frac{P · h}{F · l} \).
12. Учитывая \( l_1 = 4l_2 \), то \( P · l_2 = F · l_1 \). \( 900 · l_2 = 250 · l_1 \). \( \frac{l_1}{l_2} = \frac{900}{250} = 3.6 \).
13. По условию \( l_1/l_2 = 4 \).
14. КПД = \( \frac{P · l_2}{F · l_1} \) = \( \frac{900 · l_2}{250 · 4l_2} \) = \( \frac{900}{1000} = 0.9 \).
15. Вычислим КПД: \( \text{КПД} = \frac{A_{пот}}{A_{вых}} = \frac{P · h}{F · l} \). \( \frac{P}{F} = \frac{l_1}{l_2} \). \( \text{КПД} = \frac{P}{F} · \frac{h}{l} \).
16. \( A_{вых} = F · l_1 \). \( A_{пот} = P · h \). \( \text{КПД} = \frac{A_{пот}}{A_{вых}} \). \( F · l_1 = P · l_2 \). \( 250 · l_1 = 900 · l_2 \). \( \frac{l_1}{l_2} = \frac{900}{250} = 3.6 \).
17. Так как \( l_1/l_2 = 4 \), то \( A_{вых} = 250 · l_1 \), \( A_{пот} = 900 · h \).
18. \( \text{КПД} = \frac{A_{пот}}{A_{вых}} \).
19. \( A_{вых} = 250 \text{ Н} · l_1 \). \( A_{пот} = 900 \text{ Н} · h \). \( \text{КПД} = \frac{900 \text{ Н} · h}{250 \text{ Н} · l_1} \).
20. \( \frac{l_1}{l_2} = 4 \). \( l_1 = 4l_2 \). \( \frac{h}{l_1} = \frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{4} \). \( A_{вых} = 250 \text{ Н} · l_1 \). \( A_{пот} = 900 \text{ Н} · h = 900 \text{ Н} · \frac{l_2}{l_1} · l_1 = 900 \text{ Н} · \frac{1}{4} · l_1 = 225 \text{ Н} · l_1 \).
21. \( \text{КПД} = \frac{225 \text{ Н} · l_1}{250 \text{ Н} · l_1} = \frac{225}{250} = \frac{45}{50} = \frac{9}{10} = 0.9 \).

Ответ: 0,9 или 90%.