2. Сформулировать четыре признака равенства прямоугольных треугольников. Доказать один из них на выбор.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. По двум катетам: Если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2. По катету и прилежащему острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
3. По катету и противолежащему острому углу: Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
4. По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и один из острых углов одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и одному из острых углов другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство признака по двум катетам:

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) — прямоугольные, \( \angle C = \angle C_1 = 90^{\circ} \), \( AC = A_1C_1 \), \( BC = B_1C_1 \).

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).

По условию, \( AC = A_1C_1 \) и \( BC = B_1C_1 \) (катеты равны).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

У нас есть две равные стороны (катеты) и угол между ними (прямой угол \( 90^{\circ} \)), который равен в обоих треугольниках.

Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку равенства треугольников.