2) Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, AC = b, BC = a, AB = c.

Способ 1 (с помощью площадей):

1. Построим квадрат со стороной \( a+b \).
2. Внутри этого квадрата разместим четыре равных прямоугольных треугольника с катетами \( a \) и \( b \) так, чтобы их гипотенузы образовывали квадрат.
3. Площадь большого квадрата равна \( (a+b)^2 \).
4. Площадь четырёх треугольников равна \( 4 \cdot \frac{1}{2}ab = 2ab \).
5. Площадь внутреннего квадрата (с гипотенузами треугольников) равна \( c^2 \).
6. Таким образом, \( (a+b)^2 = 2ab + c^2 \).
7. Раскроем скобки: \( a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \).
8. Сократим \( 2ab \): \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Способ 2 (с помощью подобных треугольников):

1. Проведем высоту CH из вершины прямого угла C к гипотенузе AB.
2. Высота делит гипотенузу на отрезки AH = p и HB = q.
3. Рассмотрим подобные треугольники: ΔABC ~ ΔACH ~ ΔCBH.
4. Из подобия ΔABC ~ ΔACH следует: \( \frac{AC}{AH} = \frac{AB}{AC} \) → \( \frac{b}{p} = \frac{c}{b} \) → \( b^2 = cp \).
5. Из подобия ΔABC ~ ΔCBH следует: \( \frac{BC}{BH} = \frac{AB}{BC} \) → \( \frac{a}{q} = \frac{c}{a} \) → \( a^2 = cq \).
6. Сложим полученные равенства: \( a^2 + b^2 = cq + cp = c(q+p) \).
7. Так как \( p+q = c \) (сумма отрезков равна гипотенузе), то \( a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2 \).

Что и требовалось доказать.