2) Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где $$\angle C = 90^$$. Стороны $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза.

Способ 1: Алгебраический

1. Построим квадрат со стороной $$(a+b)$$.
2. Внутри этого квадрата построим четыре прямоугольных треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$.
3. Гипотенуза каждого треугольника равна $$c$$.
4. Площадь большого квадрата равна $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.
5. Сумма площадей четырех треугольников равна $$4 \times \frac{1}{2} ab = 2ab$$.
6. Площадь внутреннего квадрата (с вершинами на гипотенузах) равна $$c^2$$.
7. Следовательно, $$(a+b)^2 = 4 \times \frac{1}{2} ab + c^2   a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2   a^2 + b^2 = c^2$$.

Способ 2: Геометрический (посредством площадей)

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами $$a, b$$ и гипотенузой $$c$$.
2. Построим квадрат на гипотенузе $$c$$. Его площадь равна $$c^2$$.
3. Построим квадраты на катетах $$a$$ и $$b$$. Их площади равны $$a^2$$ и $$b^2$$.
4. Докажем, что $$c^2 = a^2 + b^2$$. (Существуют различные геометрические доказательства, например, с помощью разбиения квадратов или методом от противного).

Формула: $$a^2 + b^2 = c^2$$