4) В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой и ВН и биссектрисой BD.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 20° \), \( \angle C = 60° \).

Найдем \( \angle B \): \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 20° - 60° = 100° \).

BH — высота, значит \( \angle BHA = 90° \). В \( \triangle ABH \): \( \angle ABH = 90° - \angle A = 90° - 20° = 70° \).

BD — биссектриса, значит \( \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50° \).

Найдем угол между высотой BH и биссектрисой BD:

\( \angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 70° - 50° = 20° \).

Ответ: 20°.