2. Сформулируйте признаки параллельных прямых. Докажите один по выбору обучающегося.

Давай разберёмся с признаками параллельности прямых!

Признаки параллельности прямых:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Вот как мы можем это доказать:

Признак 1: По соответственным углам

Формулировка: Если при пересечении двух прямых третьей (трансверсалью) соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

Объяснение:

• Представь две прямые a и b, пересечённые прямой c.
• Образуются углы. Соответственные углы — это пары углов, которые находятся по одну сторону от секущей и расположены соответственно: один «сверху», другой «снизу» относительно пересекаемых прямых.
• Если ∠1 = ∠2 (где ∠1 и ∠2 — соответственные), то a || b.

Признак 2: По накрест лежащим углам

Формулировка: Если при пересечении двух прямых третьей (трансверсалью) накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Объяснение:

• Накрест лежащие углы находятся по разные стороны от секущей и между двумя пересекаемыми прямыми.
• Если ∠3 = ∠4 (где ∠3 и ∠4 — накрест лежащие), то a || b.

Признак 3: По односторонним углам

Формулировка: Если при пересечении двух прямых третьей (трансверсалью) сумма односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

Объяснение:

• Односторонние углы находятся по одну сторону от секущей и между двумя пересекаемыми прямыми.
• Если ∠5 + ∠6 = 180° (где ∠5 и ∠6 — односторонние), то a || b.

Доказательство (выбираю Признак 2: по накрест лежащим углам)

Дано: Две прямые a и b, секущая c. Накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 равны (∠1 = ∠2).

Доказать: a || b.

Доказательство:

1. Пусть ∠1 и ∠2 — накрест лежащие углы при пересечении прямых a и b секущей c.
2. Рассмотрим угол, вертикальный к ∠1. Назовём его ∠3. Мы знаем, что вертикальные углы равны, поэтому ∠1 = ∠3.
3. По условию ∠1 = ∠2.
4. Из равенств ∠1 = ∠3 и ∠1 = ∠2 следует, что ∠3 = ∠2.
5. Углы ∠3 и ∠2 являются соответственными углами при пересечении прямых a и b секущей c.
6. Согласно признаку параллельности прямых по соответственным углам (если соответственные углы равны, то прямые параллельны), из равенства ∠3 = ∠2 следует, что прямая a параллельна прямой b (a || b).

Что и требовалось доказать.