2) sin\(\frac{\pi(4x-3)}{4}\) = 1 В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Решение:

Уравнение \( \sin{\alpha} = 1 \) имеет общие решения \( \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

В нашем случае \( \alpha = \frac{\pi(4x-3)}{4} \).

\( \frac{\pi(4x-3)}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)

Разделим обе части на \( \pi \):

\( \frac{4x-3}{4} = \frac{1}{2} + 2k \)

Умножим обе части на 4:

\( 4x-3 = 2 + 8k \)

\( 4x = 5 + 8k \)

\( x = \frac{5}{4} + 2k \)

Чтобы найти наибольший отрицательный корень, подставим различные целые значения \( k \):

• При \( k = 0 \): \( x = \frac{5}{4} = 1.25 \) (положительный).
• При \( k = -1 \): \( x = \frac{5}{4} + 2(-1) = \frac{5}{4} - 2 = \frac{5-8}{4} = -\frac{3}{4} = -0.75 \) (отрицательный).
• При \( k = -2 \): \( x = \frac{5}{4} + 2(-2) = \frac{5}{4} - 4 = \frac{5-16}{4} = -\frac{11}{4} = -2.75 \) (отрицательный).

Наибольшим отрицательным корнем является \( -0.75 \).

Ответ: -0.75