3) tg\(\frac{\pi(x+6)}{3}\) = \(\sqrt{3}\) В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Уравнение \( \operatorname{tg}{\alpha} = \sqrt{3} \) имеет общие решения \( \alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

В нашем случае \( \alpha = \frac{\pi(x+6)}{3} \).

\( \frac{\pi(x+6)}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi k \)

Разделим обе части на \( \pi \):

\( \frac{x+6}{3} = \frac{1}{3} + k \)

Умножим обе части на 3:

\( x+6 = 1 + 3k \)

\( x = -5 + 3k \)

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим различные целые значения \( k \):

• При \( k = 0 \): \( x = -5 \) (отрицательный).
• При \( k = 1 \): \( x = -5 + 3(1) = -2 \) (отрицательный).
• При \( k = 2 \): \( x = -5 + 3(2) = -5 + 6 = 1 \) (положительный).
• При \( k = 3 \): \( x = -5 + 3(3) = -5 + 9 = 4 \) (положительный).

Наименьшим положительным корнем является \( 1 \).

Ответ: 1