2. Составьте уравнение образа окружности x² + y²-6x+8y-11 = 0 при повороте на 90° против часовой стрелки относительно начала координат.

Краткое пояснение:

Для решения задачи необходимо определить центр и радиус исходной окружности, а затем применить формулы поворота для нахождения координат центра образа. Уравнение образа окружности будет иметь тот же радиус, но новый центр.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Приведем уравнение окружности к стандартному виду \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \).
  \( x^2 - 6x + 9 + y^2 + 8y + 16 - 9 - 16 - 11 = 0 \)
  \( (x-3)^2 + (y+4)^2 = 36 \)
  Центр окружности: \( O(3, -4) \), радиус: \( r = 6 \).
• Шаг 2: Выполним поворот центра окружности \( O(3, -4) \) на 90° против часовой стрелки относительно начала координат. Формулы поворота: \( x' = -y \), \( y' = x \).
  \( x' = -(-4) = 4 \)
  \( y' = 3 \)
  Новый центр образа: \( O'(4, 3) \).
• Шаг 3: Составим уравнение образа окружности с центром \( O'(4, 3) \) и радиусом \( r = 6 \).
  \( (x-4)^2 + (y-3)^2 = 6^2 \)
  \( (x-4)^2 + (y-3)^2 = 36 \)

Ответ: \( (x-4)^2 + (y-3)^2 = 36 \)