2. Стороны угла А касаются окружности с центром О и радиусом 2 см (см. рис. 162). Найдите ОА, если ∠A = 60°.

Решение:

Пусть стороны угла А касаются окружности в точках M и N. Тогда OM ⊥ AM и ON ⊥ AN. Треугольники AMO и ANO являются прямоугольными, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Также, AO является биссектрисой угла А, так как центр окружности, лежащий на биссектрисе, равноудалён от сторон угла. Следовательно, \( \angle MAO = \angle NAO = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике AMO, OM — противолежащий катет к углу MAO, а OA — гипотенуза. Из определения синуса следует:

\[ \sin(\angle MAO) = \frac{OM}{OA} \]

\[ \sin(30^{\circ}) = \frac{2 \text{ см}}{OA} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{2 \text{ см}}{OA} \]

Отсюда, \( OA = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см} \).

Ответ: 4 см.