2. Тип 15 № 353286. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 166°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть AB = CD = a. По условию AC = 2a.

Рассмотрим треугольник ACD. В нём известны стороны AC = 2a, CD = a и угол ∠ACD = 166°.

Обозначим через φ меньший угол между диагоналями AC и BD. Векторно или по теореме косинусов для диагонали BD:

\(BD^2 = AC^2 + CD^2 - 2\cdot AC\cdot CD\cos 166^\circ = a^2(5-4\cos166^\circ)\).

Для угла между диагоналями:

\(\sin φ = \dfrac{CD\cdot\sin14^\circ}{BD} = \dfrac{\sin14^\circ}{\sqrt{5-4\cos166^\circ}}\).

Следовательно,

\(φ \approx 4.65^\circ\).

Ответ: \(4.65^\circ\) (примерно \(4.7^\circ\)).