2. Тип 16 № 402105. Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Так как O — середина стороны \(CD\), то \(OD=\frac a2\).

В прямоугольном треугольнике \(AOD\): \(AD=a\), \(OD=\frac a2\), а гипотенуза \(AO=5\).

По теореме Пифагора:

\[AO^2=AD^2+OD^2\]

\[25=a^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}.\]

\[a^2=25\cdot\frac45=20.\]

Следовательно, площадь квадрата равна \(S=a^2=20\).

Ответ: 20.