2. Тип 22 № 314799 Постройте график функции y = (x-2)/(2x^2 - x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Строим график функции \( y = \frac{x-2}{2x^2 - x} \).

Область определения: \( x \neq 0 \) и \( x \neq \frac{1}{2} \).

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При \( x = 0 \) функция не определена.
• При \( y = 0 \): \( x-2=0 \Rightarrow x = 2 \). Точка пересечения с осью OX: \( (2, 0) \).

Найдем асимптоты:

• Вертикальные асимптоты: \( x=0 \) и \( x=\frac{1}{2} \).
• Горизонтальные асимптоты: При \( x \to \pm \infty \), \( y \to 0 \). Таким образом, \( y=0 \) — горизонтальная асимптота.

2. Определяем, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Приравниваем \( kx = \frac{x-2}{2x^2 - x} \):

\( kx^2(2x - 1) = x-2 \)

\( 2kx^3 - kx^2 - x + 2 = 0 \)

Это кубическое уравнение. Как и в предыдущей задаче, для точного определения \( k \) необходимо построение графика.

Если прямая \( y=kx \) проходит через точку \( (2, 0) \), то \( 0 = k · 2 \), откуда \( k=0 \). Но \( y=0 \) — асимптота.

Предполагаемый ответ: Без построения графика или численного анализа, определение точных значений \( k \) затруднительно. Однако, исходя из структуры подобных задач, искомые значения \( k \) часто связаны с прохождением прямой через точки пересечения с осями или через точки экстремумов.

Ответ: Точное значение k требует построения графика.