3. Тип 22 № 314804 Постройте график функции y = (1-2x)/(2x^2 - x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Строим график функции \( y = \frac{1-2x}{2x^2 - x} \).

Упростим выражение: \( y = \frac{-(2x-1)}{x(2x-1)} \). При \( x \neq \frac{1}{2} \), \( y = -\frac{1}{x} \).

Таким образом, график функции — это гипербола \( y = -\frac{1}{x} \) с выколотой точкой при \( x = \frac{1}{2} \).

Найдем координаты выколотой точки:

При \( x = \frac{1}{2} \), \( y = -\frac{1}{1/2} = -2 \). Выколотая точка: \( (\frac{1}{2}, -2) \).

2. Определяем, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Приравниваем \( kx = -\frac{1}{x} \):

\( kx^2 = -1 \)

\( kx^2 + 1 = 0 \)

Это уравнение имеет ровно одно решение, если \( k=0 \), тогда \( 1=0 \) (решений нет).

Если \( k < 0 \), то \( x^2 = -\frac{1}{k} \), \( x = \pm \sqrt{-\frac{1}{k}} \). Два решения.

Если \( k > 0 \), то \( x^2 = -\frac{1}{k} \), решений нет.

Теперь учтем выколотую точку \( (\frac{1}{2}, -2) \).

Если прямая \( y = kx \) проходит через выколотую точку, то \( -2 = k \cdot \frac{1}{2} \), откуда \( k = -4 \).

При \( k = -4 \), уравнение \( -4x^2 + 1 = 0 \) имеет корни \( x = \pm \frac{1}{2} \). Одно из решений — \( x = \frac{1}{2} \), которое является выколотой точкой. Следовательно, в этом случае прямая \( y = -4x \) имеет с графиком ровно одну общую точку (корень \( x = -\frac{1}{2} \)).

Ответ: k = -4.