2. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. K и M — точки пересечения медиан треугольников ABD и BCD соответственно. Докажите, что четырёхугольник AKMC является трапецией. Вычислите длину отрезка AC, если KM = 6 см.

Точка пересечения медиан треугольника является его центроидом. Поэтому в векторной форме:

\(\overrightarrow{OK}=\dfrac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}}{3}\),

\(\overrightarrow{OM}=\dfrac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{3}\).

Вычтем первое равенство из второго:

\(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OK}=\dfrac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{3}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).

Следовательно, \(KM\parallel AC\). В четырёхугольнике AKMC есть параллельные стороны \(KM\) и \(AC\), поэтому он является трапецией.

Из \(\overrightarrow{KM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) следует:

\(KM=\dfrac{AC}{3}\).

Тогда

\(AC=3KM=3\cdot6=18\) см.

Ответ: AKMC — трапеция; \(AC=18\) см.