3. На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка A₁ так, что DA₁ = 4 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку A₁ и пересекает сторону CD в точке C₁. Докажите, что треугольники A₁C₁D и ABC подобны. Найдите диагональ AC, если A₁C₁ = 6 см и BC = 10 см.

Так как плоскость проходит через точку \(A_1\) параллельно диагонали \(AC\), её линия пересечения с плоскостью параллелограмма проходит через \(A_1\) параллельно \(AC\). Поэтому

\(A_1C_1\parallel AC\).

Кроме того, в параллелограмме:

\(DA_1\subset AD\parallel BC\), а \(DC\parallel AB\).

Следовательно, углы треугольников \(A_1C_1D\) и \(ABC\) попарно равны:

\(\angle A_1\) соответствует \(\angle A\), \(\angle C_1\) — \(\angle C\), \(\angle D\) — \(\angle B\).

Значит, треугольники подобны по двум углам:

\(\triangle A_1C_1D\sim\triangle ACB\).

При этом соответствуют стороны \(A_1C_1\) и \(AC\), а также \(DA_1\) и \(BC\). Поэтому:

\(\dfrac{A_1C_1}{AC}=\dfrac{DA_1}{BC}\).

Подставим данные:

\(\dfrac{6}{AC}=\dfrac{4}{10}\).

Отсюда

\(AC=\dfrac{6\cdot10}{4}=15\) см.

Ответ: \(\triangle A_1C_1D\sim\triangle ACB\); \(AC=15\) см.