2. Точки A и B делят окружность с центром O на дуги AMB и ACB так, что дуга ACB на 60° меньше дуги AMB. AM — диаметр окружности. Найдите углы AMB, ABM, ACB.

Пусть градусная мера дуги AMB равна \(x\). Тогда дуга ACB равна \(x-60^\circ\). Вместе дуги составляют окружность:

\(x+(x-60^\circ)=360^\circ\), откуда \(x=210^\circ\). Значит, дуга ACB равна \(150^\circ\).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

• \(\angle AMB\) опирается на дугу ACB, поэтому \(\angle AMB=150^\circ/2=75^\circ\);
• \(\angle ABM\) опирается на полуокружность AM, так как AM — диаметр, поэтому \(\angle ABM=180^\circ/2=90^\circ\);
• \(\angle ACB\) опирается на дугу AMB, поэтому \(\angle ACB=210^\circ/2=105^\circ\).

Ответ: \(\angle AMB=75^\circ\), \(\angle ABM=90^\circ\), \(\angle ACB=105^\circ\).