4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а биссектриса, проведённая к основанию, 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является высотой и медианой. Она делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 8 см.

Половина основания равна \(\sqrt{10^2-8^2}=6\) см, поэтому основание равно 12 см. Площадь треугольника: \(S=12\cdot8/2=48\) см². Полупериметр: \(p=(10+10+12)/2=16\) см. Радиус вписанной окружности: \(r=S/p=48/16=3\) см.

Радиус описанной окружности найдём по формуле \(R=abc/(4S)\):

\(R=(10\cdot10\cdot12)/(4\cdot48)=25/4\) см.

Ответ: радиус вписанной окружности — 3 см; радиус описанной окружности — \(25/4\) см.