2. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги AMB и АСВ так, что дуга АСВ на 60° меньше дуги АМВ, АМ – диаметр окружности. Найдите величины углов АМВ, ABM, ACB.

Дано:

• Дуга АСВ = Дуга АМВ - 60°.
• АМ – диаметр окружности.

Решение:

1. Полная окружность: Дуга АМВ + Дуга АСВ = 360°.
2. Подстановка: Дуга АМВ + (Дуга АМВ - 60°) = 360°.
3. Решение для дуги АМВ: 2 * Дуга АМВ = 420°, Дуга АМВ = 210°.
4. Решение для дуги АСВ: Дуга АСВ = 210° - 60° = 150°.
5. Угол АМВ: Угол АМВ вписанный и опирается на дугу АСВ. Угол АМВ = Дуга АСВ / 2 = 150° / 2 = 75°.
6. Угол ABM: Треугольник АОМ – равнобедренный (АО = ОМ = радиус). Угол МОА = 180° (диаметр). Угол АМВ = 75°. Угол МАВ = 90° - 75° = 15° (так как АМ - диаметр, то угол АВМ опирается на полуокружность, следовательно, треугольник АВМ прямоугольный).
7. Угол ACB: Угол ACB вписанный и опирается на диаметр АМ. Следовательно, Угол ACB = 90°.

Ответ: Угол АМВ = 75°, Угол ABM = 15°, Угол ACB = 90°.