3. Хорды МЕ и РК пересекаются в точке А так, что МА = 3 см, ЕА = 16 см, РА: КА = 1 : 3. Найдите величину хорды РК и наименьшее значение радиуса этой окружности.

Дано:

• Хорды МЕ и РК пересекаются в точке А.
• МА = 3 см, ЕА = 16 см.
• РА : КА = 1 : 3.

Решение:

1. Свойство пересекающихся хорд: Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
2. Длина хорды МЕ: МЕ = МА + ЕА = 3 см + 16 см = 19 см.
3. Произведение отрезков хорды МЕ: МА * ЕА = 3 см * 16 см = 48 см².
4. Обозначение отрезков хорды РК: Пусть РА = x, тогда КА = 3x.
5. Применение свойства: РА * КА = МА * ЕА.
6. Решение для x: x * 3x = 48. 3x² = 48. x² = 16. x = 4 см (т.к. длина отрезка положительна).
7. Длина отрезков хорды РК: РА = 4 см, КА = 3 * 4 см = 12 см.
8. Длина хорды РК: РК = РА + КА = 4 см + 12 см = 16 см.
9. Наименьшее значение радиуса: Наименьший радиус окружности, в которую вписан треугольник с хордой РК, будет тогда, когда хорда РК является диаметром. В этом случае радиус будет равен половине хорды.
10. Расчет наименьшего радиуса: Радиус = РК / 2 = 16 см / 2 = 8 см.

Ответ: Хорда РК = 16 см, наименьшее значение радиуса = 8 см.