2. Точки А, В, С делят окружность с центром О на три дуги: «АВ, «ВС, АС, градусные меры которых относятся как 7:5:6. Найдите углы ABC, ВАС, АОВ.

Решение:

Сумма градусных мер дуг, на которые окружность делят точки А, В, С, равна 360°.

Пусть градусные меры дуг «АВ, «ВС, АС равны \( 7x \), \( 5x \) и \( 6x \) соответственно.

Тогда:

\[ 7x + 5x + 6x = 360° \]\[ 18x = 360° \]\[ x = \frac{360°}{18} \]\[ x = 20° \]

Градусные меры дуг:

• \( \stackrel{\frown}{AB} = 7x = 7 \cdot 20° = 140° \)
• \( \stackrel{\frown}{BC} = 5x = 5 \cdot 20° = 100° \)
• \( \stackrel{\frown}{AC} = 6x = 6 \cdot 20° = 120° \)

Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу АС:

\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AC} = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60° \]

Угол ВАС является вписанным углом, опирающимся на дугу ВС:

\[ \angle BAC = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{BC} = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50° \]

Угол АОВ является центральным углом, опирающимся на дугу АВ:

\[ \angle AOB = \stackrel{\frown}{AB} = 140° \]

Ответ: \( \angle ABC = 60° \), \( \angle BAC = 50° \), \( \angle AOB = 140° \).