2. Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причём KP ∥ MN, EF ∥ AC. а) Докажите, что AC ∥ KP. б) Найдите KP и MN, если KP : MN = 3 : 5, AC = 16 см.

а) По условию EF ∥ AC и EF — средняя линия трапеции KMNP, поэтому EF ∥ KP. Следовательно, AC и KP параллельны одной и той же прямой EF, значит, AC ∥ KP.

б) EF — средняя линия треугольника ABC, поэтому EF = AC : 2 = 16 : 2 = 8 см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, значит, (KP + MN) : 2 = 8, откуда KP + MN = 16 см.

По условию KP : MN = 3 : 5. Всего 3 + 5 = 8 долей, одна доля равна 16 : 8 = 2 см. Тогда KP = 3 · 2 = 6 см, MN = 5 · 2 = 10 см.

Ответ: KP = 6 см, MN = 10 см.