2. Упростите: а) (1 − sin x)(1 + sin x); б) cos x/(1 − sin x) − (1 + sin x)/cos x; в) cos x tg x − 2 sin x; г) (1 − tg² x)/(1 + tg² x) − (cos⁴ x − sin⁴ x).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Используем разность квадратов и основное тригонометрическое тождество: \((1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x\).
Область допустимых значений: \(\cos x\ne0\). Рационализуем первую дробь:
\(\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{1-\sin^2x}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{\cos^2x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}\).
Значит, разность равна \(0\).
При \(\cos x\ne0\): \(\cos x\operatorname{tg}x-2\sin x=\sin x-2\sin x=-\sin x\).
При \(\cos x\ne0\) применяем тождества:
\(\frac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x}=\cos^2x-\sin^2x\), а \(\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos^2x-\sin^2x\).
Разность равна \(0\).

Ответ: а) cos²x; б) 0, при cos x ≠ 0; в) −sin x, при cos x ≠ 0; г) 0, при cos x ≠ 0.