2. В коробке 4 красных и 3 зеленых карандаша. Последовательно извлекают два карандаша без возвращения. Постройте дерево вероятностей и найдите вероятность того, что: а) оба карандаша красные; б) карандаши разного цвета; в) оба карандаша зеленые.

Решение:

Всего карандашей: \( 4 + 3 = 7 \).

a) Оба карандаша красные.

Вероятность вынуть первый красный карандаш: \( P(К_1) = \frac{4}{7} \).

После извлечения одного красного карандаша осталось 3 красных и 6 всего. Вероятность вынуть второй красный карандаш: \( P(К_2|К_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

Вероятность того, что оба карандаша красные: \( P(К_1 \text{ и } К_2) = P(К_1) \times P(К_2|К_1) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \).

б) Карандаши разного цвета.

Возможны два случая: красный, потом зеленый (КЗ) или зеленый, потом красный (ЗК).

Вероятность КЗ: \( P(К_1) \times P(З_2|К_1) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \).

Вероятность ЗК: \( P(З_1) \times P(К_2|З_1) = \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \).

Общая вероятность: \( P(\text{разные}) = P(КЗ) + P(ЗК) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \).

в) Оба карандаша зеленые.

Вероятность вынуть первый зеленый карандаш: \( P(З_1) = \frac{3}{7} \).

После извлечения одного зеленого карандаша осталось 2 зеленых и 6 всего. Вероятность вынуть второй зеленый карандаш: \( P(З_2|З_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

Вероятность того, что оба карандаша зеленые: \( P(З_1 \text{ и } З_2) = P(З_1) \times P(З_2|З_1) = \frac{3}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7} \).

Ответ: а) \( \frac{2}{7} \); б) \( \frac{4}{7} \); в) \( \frac{1}{7} \).