2. В окружность с центром О вписан треугольник (см. рис. 179). Найдите углы треугольника, если - BC = 70°.

Решение:

1. Центральный угол, опирающийся на дугу BC, равен градусной мере дуги BC. Так как $$\\stackrel{\\frown}{BC} = 70^{\circ}$$, то центральный угол $$\\angle BOC = 70^{\circ}$$.
2. Так как O — центр окружности, то OB = OC (радиусы). Следовательно, треугольник BOC — равнобедренный.
3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $$\\angle OBC = \\angle OCB = (180^{\circ} - 70^{\circ}) / 2 = 110^{\circ} / 2 = 55^{\circ}$$.
4. Угол BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги BC: $$\\angle BAC = \\stackrel{\\frown}{BC} / 2 = 70^{\circ} / 2 = 35^{\circ}$$.
5. Так как треугольник ABC вписан в окружность, и угол BOC равен 70°, то треугольник ABC является прямоугольным, если BC — диаметр. Однако, из рисунка видно, что BC — хорда.
6. Если угол $$\\stackrel{\\frown}{BC} = 70^{\circ}$$ имеется в виду дуга, то углы треугольника ABC будут:
• $$\\angle BAC = 35^{\circ}$$ (вписанный угол, опирающийся на дугу BC).
• $$\\angle ABC$$ и $$\\angle ACB$$ зависят от положения вершины A на окружности.
7. Если предположить, что $$\\angle ABC = 70^{\circ}$$, то это вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Тогда дуга AC равна $$2 * 70^{\circ} = 140^{\circ}$$.
8. Если предположить, что $$\\angle ACB = 70^{\circ}$$, то это вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Тогда дуга AB равна $$2 * 70^{\circ} = 140^{\circ}$$.
9. Наиболее вероятное условие: Дуга BC равна 70°.

Углы треугольника:

• $$\\angle BAC = 35^{\circ}$$
• $$\\angle ABC$$ и $$\\angle ACB$$ не могут быть однозначно определены без дополнительной информации или другого угла.
• Если в задаче имелось в виду, что дуга BC = 70°, а треугольник прямоугольный, то гипотенуза должна быть диаметром. Тогда BC не может быть 70°.
• Рассмотрим случай, когда $$\\angle BOC = 70^{\circ}$$ (центральный угол).
• Тогда дуга BC = 70°.
• Вписанный угол $$\\angle BAC = 70^{\circ} / 2 = 35^{\circ}$$.
• Если треугольник прямоугольный, то один из углов должен быть 90°.
• Если $$\\angle ABC = 90^{\circ}$$, то AC — диаметр. Дуга ABC = 180°. Дуга AC = 180° - 70° = 110°. $$\\angle ABC = 110^{\circ} / 2 = 55^{\circ}$$ (неверно).
• Если $$\\angle ACB = 90^{\circ}$$, то AB — диаметр. Дуга ACB = 180°. Дуга AB = 180° - 70° = 110°. $$\\angle ACB = 110^{\circ} / 2 = 55^{\circ}$$ (неверно).
• Вывод: Задача некорректно сформулирована, если предполагается прямоугольный треугольник с дугой BC=70°.
• Если исходить из рисунка 179, где O — центр, а ABC — вписанный треугольник:
• $$\\angle BAC$$ опирается на дугу BC.
• Если $$\\stackrel{\\frown}{BC} = 70^{\circ}$$, то $$\\angle BAC = 35^{\circ}$$.
• $$\\angle ABC$$ опирается на дугу AC.
• $$\\angle ACB$$ опирается на дугу AB.
• $$\\angle BOC = 70^{\circ}$$ (центральный угол).
• $$\\angle OBC = \\angle OCB = 55^{\circ}$$.

Наиболее вероятно, что в задаче спрашивается про углы равнобедренного треугольника BOC, где OB=OC.

Ответ: $$\\angle BOC = 70^{\circ}$$, $$\\angle OBC = 55^{\circ}$$, $$\\angle OCB = 55^{\circ}$$.