2. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN.

Пусть MO - биссектриса угла M. NK - высота, значит NK ⊥ MN. Расстояние от точки О до прямой MN равно длине перпендикуляра, опущенного из О на MN. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с MN как P. Треугольник MPO подобен треугольнику MNO. Угол NMO = Угол PMO (так как MO - биссектриса). Угол MNP = Угол MPO = 90°. Угол MON = Угол POM (вертикальные углы). Следовательно, треугольники MPO и MNO подобны по двум углам. Отношение соответственных сторон равно: OP/ON = MP/MN = MO/MO = 1. Значит OP = ON. Так как OK = 9 см, и O лежит на NK, то расстояние от O до MN равно OP. Ответ: 9 см.